Задания ЕГЭ по математике: Задачи по стереометрии
\(ABCA'B'C'\) – правильная треугольная призма, сторона основания \(AB=6\), боковое ребро \(AA'=3\). На ребре \(AB\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK=1\). Точки \(M\) и \(L\) – середины ребер \(A'C'\) и \(B'C'\) соответственно. Параллельно прямой \(AC\) через точки \(K\) и \(L\) проведена плоскость \(\alpha\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) перпендикулярна прямой \(BM\).
б) Найдите расстояние от точки \(C\) до плоскости \(\alpha\).
\(ABCD\) – основание двух правильных четырехугольных пирамид \(EABCD\) и \(FABCD\), расположенных по разные стороны от основания. Точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Все ребра пирамид равны.
а) Докажите, что угол между \(AE\) и \(BF\) составляет 60 градусов.
б) Найдите угол между \(EM\) и \(FN\).
\(ABCA_1B_1C_1\) – правильная треугольная призма, все ребра которой равны 2. На ребре \(AA_1\) отмечена середина \(M\).
а) Докажите перпендикулярность прямых \(MB\) и \(B_1C\).
б) Найдите расстояние между прямыми \(MB\) и \(B_1C\).
Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), ребра которого равны 1. Точка \(M\) – точка, отмеченная на продолжении \(A_1C_1\) за точку \(C_1\). Причем \(A_1C_1=C_1M\). Точка \(N\) – точка, отмеченная на продолжении \(B_1C\) за точку \(C\), причем\(B_1C=CN\).
а) Докажите, что \(MN=MB_1\).
б) Найдите расстояние между \(B_1C_1\) и \(MN\).
В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) точки \(M\) и \(N\) – середины ребер \(A_1D_1\) и \(BB_1\). Найдите угол между прямой \(MN\) и диагональю \(BD_1\).
В единичном кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) найдите расстояние от точки \(A\) до плоскости \(BDA_1\).
В правильной четырехугольной пирамиде \(SABCD\) с вершиной \(S\) высота равна диагонали основания. Точка \(F\) лежит на середине ребра \(SA\). Найдите квадрат тангенса между прямыми \(SD\) и \(BF\).
Основанием пирамиды \(SABC\) является равносторонний треугольник \(ABC\), длина стороны которого равна \(4\sqrt2\). Боковое ребро \(SC\) перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2. Найти угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку \(S\) и середину ребра \(BC\), а другая проходит через точку \(C\) и середину ребра \(AB\).
Дан прямоугольный параллелепипед \(ABCDA_1B_1C_1D_1\), у которого \(AD=6, AB=3, AA_1=2\). Найти угол между прямой \(AC_1\) и прямой, проходящей через середины ребер \(AA_1\) и \(B_1C_1\).
Напишите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки \(M(3;-1;2), N(4;1;-1),K(2;0;1)\).
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A,B,C\), а на окружности другого основания — точка \(C_1\),причём \(CC_1\) – образующая цилиндра, а \(AC\) – диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB=45°, AB=3\sqrt2, CC_1=6\).
а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC\) равен 60°.
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до \(AC_1\).
Ребро \(SA\) пирамиды \(SABC\) перпендикулярно плоскости основания \(ABC\).
а) Докажите, что высота пирамиды, проведённая из точки \(A\), делится плоскостью, проходящей через середины рёбер \(AB,AC,SA\), пополам.
б) Найдите расстояние от вершины \(A\) до этой плоскости, если \(SA=\sqrt5,AB=AC=5,BC=2\sqrt5\)
В правильной треугольной пирамиде \(SABC\) с вершиной \(S\), все рёбра которой равны 4, точка \(N\) –середина ребра \(AC\), точка \(O\) – центр основания пирамиды, точка \(P\) делит отрезок \(SO\) в отношении \(3:1\), считая от вершины пирамиды.
а) Докажите, что \(NP\perp BS\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(NP\).
Дана правильная четырехугольная пирамида \(KMNPQ\) со стороной 6 основания \(MNPQ\) и боковым ребром \(3\sqrt{26}\).
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую \(NF\) параллельно диагонали \(MP\), если точка \(F\) – середина ребра \(MK\).
б) Найдите величину угла между плоскостью сечения и плоскостью \(KMP\).
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – правильная призма, \(M\) и \(N\) – середины ребер \(AB\) и \(BC\) соответственно. Точка \(K\) –середина \(MN\).
а) Докажите, что \(KD_1\perp MN\).
б) \(AB=8,AA_1=6\sqrt2\). Найдите угол между плоскостями \(MND_1\) и \(ABC\).