Задания ЕГЭ по математике: Задачи с прикладным содержанием
На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами. Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение \(y=0,005x^2-0,74x+25\), где \(x\) и \(y\) измеряются в метрах. Найдите, на каком расстоянии друг от друга находятся ванты ванты, длина которых равна 7,3 м. Ответ дайте в метрах.
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: \(T(t)=T_0+bt+at^2,\)где \(t\) – время в минутах, \(T_0\) = 1380 К, \(\alpha\) = -15 К/мин², \(b\) = 165 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
При температуре 0 °C рельс имеет длину \(l_0=15\) м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор 4,5 мм. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону \(l(t)=l_0(1+\alpha t)\), где \(\alpha=1,2\cdot10^{-5}\) (°C)⁻¹ – коэффициент теплового расширения, \(t\) – температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? Ответ выразите в градусах Цельсия.
Два тела массой \(m=2\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v=10\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением \(Q=m\cdot v^2\cdot\sin^2\alpha.\) Под каким наименьшим углом \(2\alpha\) (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону \(U=U_0\cdot\sin(\omega t+\phi),\)где \(t\) – время в секундах, амплитуда \(U_0=2\) В,частота \(\omega=120^\circ\) рад/с, фаза \(\phi=-30^\circ\). Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Водолазный колокол, содержащий \(\nu\) = 2 моля воздуха при давлении \(p_1\) = 1,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha\nu T\log_2(\frac{p_2}{p_1}),\) где \(\alpha\) = 5,75 – постоянная, \(T\) = 300К – температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.
Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне \(T_п = 20\) °C, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу воды \(m=0,3\) кг/с. Проходя по трубе расстояние \(x\), вода охлаждается от начальной температуры \(T_в=60\) °C до температуры \(T\)(°C), причём \(x=\alpha\cdot\frac{c\cdot m}{\gamma}\cdot\log_2(\frac{T_в-T_п}{T-T_п}),\)где \(c=4200\) Дж/кг · °C – теплоёмкость воды \(\gamma=21\) Вт/м · °C – коэффициент теплообмена, а \(\alpha=0,7\) – постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 84 м.
Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением \(p_1V_1^{1,4}=p_2V_2^{1,4},\) где \(p_1\) и \(p_2\) – давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \(V_1\) и \(V_2\) – объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.
Наблюдатель находится на высоте \(h\), выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле \(l=\sqrt{\frac{Rh}{500}},\) где \(R=6400\) км – радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?
Автомобиль, масса которого равна \(m\) = 2160 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение \(t\) секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь \(S\) = 500 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно \(A=\frac{2mS}{t^2}\). Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила \(F\), приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой \(m_{в}\) (в килограммах) от температуры t₁ до температуры t₂(в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы \(m_{др}\) кг.Он определяется формулой \(\eta=\frac{c_в\cdot m_в(t_2-t_1)}{q_{др}\cdot m_{др}}\cdot100\%,\)где \(c_{в}\) = 4,2 · 10³ Дж/кг·К – теплоёмкость воды, \(q_{др}\) = 8,3 · 10⁶ Дж/кг – удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть m = 83 кг воды от 10 °C до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше 21%. Ответ выразите в килограммах.
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=440\) Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\space(Гц),\)где \(c\) – скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c=315\) м/с. Ответ выразите в м/с.
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием \(f=35\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 35 до 60 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана – в пределах от 240 до 280 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение \(\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{f}.\) Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t)=H_0+at^2+bt\), где \(t\) – время в минутах, прошедшее с момента открытия крана, \(H_0=4\) – начальная высота столба воды, \(a=\frac1{100}\) и \(b=-\frac25\) – постоянные. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой \(m=8\) кг и радиуса \(R=10\) см, и двух боковых с массами \(M=1\) кг и с радиусами \(R+h\). При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый кг · см², задается формулой \(l=\frac{(m+2M)\cdot R^2}{2}+M\cdot(2Rh+h^2)\). При каком максимальном значении \(h\) момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 кг·см²? Ответ выразите в сантиметрах.