Задания ЕГЭ по математике: Объем многогранника

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – ​куб с ребром, равным 5. На ребре \(BB_1\)​ отмечена точка \(K\), ​причем \(KB=3.\)Плоскость \(\alpha\) ​такая, что \(K,C_1\in\alpha, BD_1\parallel \alpha, A_1B_1\cap \alpha =P\).​

а) Докажите, что \(A_1P:PB_1=1:2\).​

б) Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью​ \(\alpha\).​

\(ABC\) – ​прямоугольный треугольник с прямым углом \(C\) ​является основанием прямой треугольной призмы​ \(ABCA_1B_1C_1\). ​Известно, что диагонали боковых граней \(AA_1B_1B\) ​и \(BB_1C_1C\) равны соответственно​ \(26\) ​и \(10\),​ \(AB=25\).​

а) Докажите, что \(\Delta BA_1C_1\) – ​прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды \(AA_1C_1B\).​

\(PABC\) – ​треугольная пирамида такая, что высота, опущенная из точки \(P\),​ падает в точку \(C\). ​Также известно, что \(PA\perp BC\).​

а) Докажите, что треугольник​ \(ABC\) ​прямоугольный.

б)​ \(PB=15, AB=13, \cos\angle PBA = \frac{48}{65}\). ​Найдите объем пирамиды \(PABC\).​